Question

19．數(shù)列{a_n}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，且1-a₂是a₁與1+a₃的等比中項，前n項和為S_n；數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b₁=8，其前n項和為T_n，滿足T_n=nλb_n+1（λ為常數(shù)，且λ≠1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式及λ的值；
（2）比較$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+…+\frac{1}{T_n}$與$\frac{1}{2}{S_n}$的大小并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)1-a₂是a₁與1+a₃的等比中項，建立關(guān)于a₁的方程，解出a₁=$\frac{1}{2}$，從而得出數(shù)列{a_n}的通項公式．再由T_n=nλ•b_n+1分別取n=1、2，建立關(guān)于{b_n}的公差d與λ的方程組，解之即可得到實數(shù)λ的值；
（2）由（1）的結(jié)論，利用等比數(shù)列的求和公式算出S_n的表達式，從而得到由等差數(shù)列的通項與求和公式算出{b_n}的前n項和T_n=4n²+4n，利用裂項求和的方法算出，再將兩式加以比較，即可得到與所求的大小關(guān)系．

解答 解：（1）∵${（1-{a_2}）^2}={a_1}•（{a_3}+1）$，
而{a_n}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴${（1-\frac{1}{2}{a_1}）^2}={a_1}（\frac{1}{4}{a_1}+1）$，
解得${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_n}={（\frac{1}{2}）^n}$．
又由T_n=nλb_n+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{T_1}=λ{b_1}\\{T_2}=2λ{b_2}\end{array}\right.$，
于是$\left\{\begin{array}{l}8=λ（8+d）\\ 16+d=2λ（8+2d）\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}λ=\frac{1}{2}\\ d=8\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}λ=1\\ d=0\end{array}\right.$（舍去）．
∴$λ=\frac{1}{2}$．
（2）已知${S_n}=1-{（\frac{1}{2}）^n}$，$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2}-{（\frac{1}{2}）^{n+1}}≥\frac{1}{2}-{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{4}$，
${T_n}=n{b_1}+\frac{n（n-1）}{2}d=8n+4n（n-1）-4{n^2}+4n$，
$\frac{1}{T_n}=\frac{1}{4n（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
從而$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+…+\frac{1}{T_n}=\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）＜\frac{1}{4}≤\frac{1}{2}{S_n}$．

點評 本題給出等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足的條件，求它們的通項公式與前n項和公式，并依此比較兩個不等式的大小．著重考查了等差等比數(shù)列的通項與求和、數(shù)列求和的一般方法與不等式比較大小等知識，屬于中檔題．