3.已知函數(shù)f(x)=$\frac{x}{k}$-lnx(k>0)
(1)求f(x)的最小值;
(2)若k=2,判斷方程f(x)-1=0在區(qū)間($\frac{1}{e}$,1)內(nèi)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù);
(3)證明:對(duì)任意給定的M>0,總存在正數(shù)x0,使得當(dāng)x>x0時(shí),恒有$\frac{x}{2}$-M>lnx.

分析 (1)先求出導(dǎo)函數(shù),再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最小值,
(2)根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)定理,即可判斷方程f(x)-1=0在區(qū)間($\frac{1}{e}$,1)內(nèi)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù),
(3)根據(jù)(1)的結(jié)論,得到$\frac{x}{3}-1+ln3≥lnx$①,$\frac{x}{2}-M>\frac{x}{3}-1+ln3$②,即可證明結(jié)論.

解答 解:(1)$f'(x)=\frac{1}{k}-\frac{1}{x}=\frac{x-k}{kx}$
當(dāng)0<x<k時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>k時(shí),f'(x)>0,
所以f(x)在(0,k)單調(diào)遞減,在(k,+∞)單調(diào)遞增,
從而f(x)min=f(k)=1-lnk,
(2)k=2時(shí),$f(x)-1=\frac{x}{2}-lnx-1$
因?yàn)?f(\frac{1}{e})-1=\frac{1}{2e}>0$,$f(1)-1=-\frac{1}{2}<0$,且f(x)的圖象是連續(xù)的,
所以f(x)-1=0在區(qū)間$(\frac{1}{e},1)$內(nèi)有實(shí)數(shù)解;
又當(dāng)$x∈(\frac{1}{e},1)$時(shí),$f'(x)=\frac{x-2}{2x}<0$,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
從而f(x)-1=0在區(qū)間$({\frac{1}{e},1})$內(nèi)至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解,
故f(x)-1=0在區(qū)間$({\frac{1}{e},1})$內(nèi)有唯一的有實(shí)數(shù)解.
(3)證明:由(1)知:${(\frac{x}{3}-lnx)_{min}}=1-ln3$
所以x>0時(shí),$\frac{x}{3}-1+ln3≥lnx$①
由$\frac{x}{2}-M>\frac{x}{3}-1+ln3$得:x>6(M-1+ln3)
所以x>6(M-1+ln3)>0時(shí),$\frac{x}{2}-M>\frac{x}{3}-1+ln3$②
由①②知:取x0=6(M-1+ln3)>0,則當(dāng)x>x0時(shí),
有$\frac{x}{2}-M>\frac{x}{3}-1+ln3≥lnx$,
即$\frac{x}{2}-M>lnx$成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題,也考查運(yùn)算求解能力以及邏輯推理能力,考查了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用問題,是難題目.

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C.20152f(2015)<20162f(2016)D.20152f(2015)>20162f(2016)

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乙方案:只種樹不保證成活,每棵樹小區(qū)付給公司1300元.
(1)若實(shí)行甲方案,求小區(qū)給苗木公司付款的概率;
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