(2013•揭陽(yáng)二模)在圖(1)所示的長(zhǎng)方形ABCD中,AD=2AB=2,E、F分別為AD、BC的中點(diǎn),M、N兩點(diǎn)分別在AF和CE上運(yùn)動(dòng),且AM=EN=a(0<a<
2
)
.把長(zhǎng)方形ABCD沿EF折成大小為θ的二面角A-EF-C,如圖(2)所示,其中θ∈(0,
π
2
]

(1)當(dāng)θ=45°時(shí),求三棱柱BCF-ADE的體積;
(2)求證:不論θ怎么變化,直線MN總與平面BCF平行;
(3)當(dāng)θ=900a=
2
2
.時(shí),求異面直線MN與AC所成角的余弦值.
分析:(1)利用已知條件即可得到EF⊥平面ADE,∠DEA=θ.再利用三棱柱的體積計(jì)算公式即可得出;
(2)證法一:過(guò)點(diǎn)M作MM1⊥BF交BF于M1,過(guò)點(diǎn)N作NN1⊥CF交BF于N1,連接M1N1,可證明四邊形MNN1M1為平行四邊形,再利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論;
證法二:點(diǎn)M作MG⊥EF交EF于G,可證平面MNG∥平面BCF,利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明;
(3)證法一:取CF的中點(diǎn)為Q,連接MQ、NQ,則MQ∥AC,得∠NMQ或其補(bǔ)角為異面直線MN與AC所成的角,利用余弦定理求出即可;
證法二:建立空間直角坐標(biāo)系,利用兩條異面直線的方向向量的夾角即可得出.
解答:解:(1)依題意得EF⊥DE,EF⊥AE,∴EF⊥平面ADE,∠DEA=θ.
由θ=45°得,S△ADE=
1
2
DE•EAsin45°=
2
4

VBCF-ADE=S△ADE•EF=
2
4

(2)證法一:過(guò)點(diǎn)M作MM1⊥BF交BF于M1,
過(guò)點(diǎn)N作NN1⊥CF交BF于N1,連接M1N1,
∵M(jìn)M1∥AB,NN1∥EF∴MM1∥NN1
又∵
MM1
AB
=
FM
FA
=
CN
CE
=
NN1
EF
,∴MM1=NN1
∴四邊形MNN1M1為平行四邊形,
∴MN∥N1M1,又MN?面BCF,N1M1?面BCF,∴MN∥面BCF.
證法二:過(guò)點(diǎn)M作MG⊥EF交EF于G,連接NG,則
CN
NE
=
FM
MA
=
FG
GE
,∴NG∥CF.
又NG?面BCF,CF?面BCF,∴NG∥面BCF,
同理可證得MG∥面BCF,又MG∩NG=G,∴平面MNG∥平面BCF,
∵M(jìn)N?平面MNG,∴MN∥面BCF.
(3)證法一:取CF的中點(diǎn)為Q,連接MQ、NQ,則MQ∥AC,
∴∠NMQ或其補(bǔ)角為異面直線MN與AC所成的角,
∵θ=900a=
2
2
.∴NQ=
1
2
,MQ=
(
1
2
)
2
+(
2
2
)
2
=
3
2
MN=
2
2
,----
cos∠NMQ=
QM2+MN2-NQ2
2MN•QM
=
6
3

即MN與AC所成角的余弦值為
6
3

證法二:∵θ=900a=
2
2

分別以FE、FB、FC所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.A(1,1,0),C(0,0,1),M(
1
2
1
2
,0),N(
1
2
,0,
1
2
),得
AC
=(-1,-1,1),
MN
=(0,-
1
2
1
2
)
,
cos<
AC
MN
>=
1
3
2
2
=
6
3
,
所以與AC所成角的余弦值為
6
3
點(diǎn)評(píng):熟練掌握線面垂直的判定定理、三棱柱的體積計(jì)算公式、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理、異面直線所成的角的定義、余弦定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用兩條異面直線的方向向量的夾角求得異面直線的夾角.
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3
3
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