如圖,直三棱柱A1B1C1―ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點.
(1)求與平面A1C1CA所成角的大小;
(2)求二面角B―A1D―A的大小;
(3)在線段AC上是否存在一點F,使得EF⊥平面A1BD?若存在,確定其位置并證明結(jié)論;若不存在,說明理由.
解:(1)∵A1B1C1-ABC為直三棱柱 ∴CC1⊥底面ABC ∴CC1⊥BC
∵AC⊥CB ∴BC⊥平面A1C1CA
∴為與平面A1C1CA所成角
∴與平面A1C1CA所成角為
(2)分別延長AC,A1D交于G. 過C作CM⊥A1G 于M,連結(jié)BM
∵BC⊥平面ACC1A1 ∴CM為BM在平面A1C1CA的內(nèi)射影
∴BM⊥A1G ∴∠CMB為二面角B―A1D―A的平面角
平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D為C1C的中點
∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,
,
即二面角B―A1D―A的大小為
(3)在線段AC上存在一點F,使得EF⊥平面A1BD
其位置為AC中點,證明如下:
∵A1B1C1―ABC為直三棱柱,∴B1C1//BC
∵由(1)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA
∵EF在平面A1C1CA內(nèi)的射影為C1F ,F為AC中點 ∴C1F⊥A1D ∴EF⊥A1D
同理可證EF⊥BD,∴EF⊥平面A1BD
∵E為定點,平面A1BD為定平面,點F唯一
解法二:(1)同解法一
(2)
∵A1B1C1―ABC為直三棱住 C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB D、E分別為C1C、B1C1的中點, 建立如圖所示的坐標系得
C(0,0,0) B(2,0,0) A(0,2,0)
C1(0,0,2) B1(2,0,2) A1(0,2,2)
D(0,0,1) E(1,0,2)
設(shè)平面A1BD的法向量為
平面ACC1A1的法向量為=(1,0,0) …7分
即二面角B―A1D―A的大小為
(3)在線段AC上存在一點F,設(shè)F(0,y,0)使得EF⊥平面A1BD
欲使EF⊥平面A1BD 由(2)知,當且僅當//
∴存在唯一一點F(0,1,0)滿足條件. 即點F為AC中點。
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