Question

已知一焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)的雙曲線的實(shí)軸等于虛軸，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

2， 3

．
（1）求該雙曲線的方程；
（2）若直線y=kx+1與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）由題意知該雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為

x2

a 2

-

y2

a 2

=1

a＞0

，把點(diǎn)（2，

3

）代入方程解出即可；
（2）直線y=kx+1與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于直線與雙曲線的方程構(gòu)成的方程組只有一解，消去y后得到關(guān)于x的方程，然后分類(lèi)討論即可；

解答：解：（1）∵a=b，∴所求圓錐曲線為等軸雙曲線．
∴設(shè)雙曲線方程為

x2

a 2

-

y2

a 2

=1

a＞0

，
∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

2， 3

，∴

22

a 2

-

3 2

a 2

=1，解得a=1，
∴所求雙曲線方程為x²-y²=1；
（2）由

y=kx+1 x2-y2=1

⇒(k2-1)x2+2kx+2=0，

(1)當(dāng)k2=1時(shí)，k=±1，直線與雙曲線的漸近線平行， ∴直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)．

(2)當(dāng)k2≠1時(shí)，△=4k2-8(k2-1)=0 ⇒k2=2⇒k=± 2 ，

，
∴k=-1、1、

2

、-

2

，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及雙曲線方程的求解，考查分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．