Question

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a（0＜a＜

2

），則MN的長的最小值為 （　　）

• A．

  2

  2

• B．

  1

  2

• C．

  2

  2

  a
• D．a(chǎn)

Answer 1

分析：作MP∥AB交BC于點(diǎn)，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，易證MNQP是平行四邊形，根據(jù)MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

，可求出MN的長，利用配方法即可求出MN的最小值；

解答：解：（1）作MP∥AB交BC于點(diǎn)，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，
依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，
∴MN=PQ
∵CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴AC=BF=

2

，CP=BQ=

2

2

a
∴MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=

(1- 2 2 a)2+( 2 2 a)2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

∵0＜a＜

2

，
∴a=

2

2

時(shí)，即當(dāng)M、N分別為AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長最小，最小為

2

2

；
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間距離的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．