已知定義在（1，+∞）上的函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+1．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ） 當a=2時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程．
分析：（Ⅰ）求出f（x）的導函數(shù)，令導函數(shù)等于0求出x的值1和a，由x的范圍討論a與1的大小，得到導函數(shù)的正負進而得到f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）把a=2代入f（x）和導函數(shù)中確定出相應的解析式，把x=3代入導函數(shù)中求出導函數(shù)的函數(shù)值即為切線的斜率，把x=3代入f（x）中即可得到切點的縱坐標，進而得到切點的坐標，根據(jù)求出的切點坐標和斜率寫出切線方程即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知f（x）的定義域為（1，+∞），
f'（x）=x2-ax=x（x-a），
當a≤1時，在（1，+∞）上f'（x）＞0，則f（x）在（1，+∞）單調遞增；
當a＞1時，在（1，a）上f'（x）＜0，在[a，+∞）上f'（x）＞0，
所以f（x）在（1，a）單調遞減，在[a，+∞）上單調遞增；
（Ⅱ）當a=2時，f(x)=
1
3
x3-x2+1，f'（x）=x2-2x，
∴f'（3）=32-2×3=3，f(3)=
1
3
×33-32+1=1，
所求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程為y-1=3（x-3）即3x-y-8=0．
點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調區(qū)間，是一道中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x），滿足f(
1
2
)=1，并且?x，y∈（-1，1）都有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)成立，對于數(shù)列{xn}，有x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
．
（Ⅰ）求f（0），并證明f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）求數(shù)列{f（xn）}的通項公式；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數(shù)列{f（xn）}，證明：
n
2
-
5
6
＜
f(x1)-1
f(x2)-1
+
f(x2)-1
f(x3)-1
+…+
f(xn)-1
f(xn+1)-1
＜
n
2
（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）=
1
a
-
1
x-1
（a＞0）
（Ⅰ）若f（2t-3）＞f（4-t），求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）≤4x對（1，+∞）上的任意x都成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在（-1，1）上的奇函數(shù)f（x），在定義域上為減函數(shù)，且f（1-a）+f（1-2a）＞0，則實數(shù)a的取值范圍是
（
2
3
，1）
（
2
3
，1）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在（-1，1）上的偶函數(shù)f（x）在（0，1）上單調遞增，則滿足f（2x-1）＜f（x）的x的取值范圍是
（
1
3
，1）
（
1
3
，1）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在（-1，1）上的奇函數(shù)f(x)=
ax+b
x2+1
是增函數(shù)，且f(
1
2
)=
2
5
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式f（t-1）+f（2t）＜0．

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