Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用線面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，進一步得到平面PAB⊥平面PAD；
（2）由已知可得四邊形ABCD為平行四邊形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，則四邊形ABCD為矩形，設PA=AB=2a，則AD=$2\sqrt{2}a$．取AD中點O，BC中點E，連接PO、OE，以O為坐標原點，分別以OA、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出平面PBC的一個法向量，再證明PD⊥平面PAB，得$\overrightarrow{PD}$為平面PAB的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-PB-C的余弦值．

解答 （1）證明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，則四邊形ABCD為矩形，
在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD為等腰直角三角形，
設PA=AB=2a，則AD=$2\sqrt{2}a$．
取AD中點O，BC中點E，連接PO、OE，
以O為坐標原點，分別以OA、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則：D（$-\sqrt{2}a，0，0$），B（$\sqrt{2}a，2a，0$），P（0，0，$\sqrt{2}a$），C（$-\sqrt{2}a，2a，0$）．
$\overrightarrow{PD}=（-\sqrt{2}a，0，-\sqrt{2}a）$，$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{2}a，2a，-\sqrt{2}a）$，$\overrightarrow{BC}=（-2\sqrt{2}a，0，0）$．
設平面PBC的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}ax+2ay-\sqrt{2}az=0}\\{-2\sqrt{2}ax=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}=（0，1，\sqrt{2}）$．
∵AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，則$\overrightarrow{PD}$為平面PAB的一個法向量，$\overrightarrow{PD}=（-\sqrt{2}a，0，-\sqrt{2}a）$．
∴cos＜$\overrightarrow{PD}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2a}{2a×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
由圖可知，二面角A-PB-C為鈍角，
∴二面角A-PB-C的余弦值為$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．