Question

如圖，等腰梯形ABCD的底邊AB和CD長分別為6和2

6

，高為3．
（1）求這個等腰梯形的外接圓E的方程；
（2）若線段MN的端點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，2），端點(diǎn)M在圓E上運(yùn)動，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用題目條件求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，即可求這個等腰梯形的外接圓E的方程；
（2）設(shè)P（x，y），由于P是MN中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，則M（2x-5，2y-2），利用M是圓上的點(diǎn)代入圓的方程，化簡可得P的軌跡方程．

解答： 解：（1）設(shè)圓心E（0，b），由EB=EC得b=1，（4分）
所以圓的方程x²+（y-1）²=10（ 6分）
（2）設(shè)P（x，y），由于P是MN中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，則M（2x-5，2y-2），（8分）
帶入x²+（y-1）²=10，（10分）
化簡得(x-

5

2

)2+(y-

3

2

)2=

5

2

（ 12分）

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法，圓的方程的求法，求解圓的方程的關(guān)鍵是求解圓心與半徑，軌跡方程的解題關(guān)鍵是相關(guān)點(diǎn)的應(yīng)用，代入法是常見方法．