分析 (1)由題意可知:離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,a2=4b2,將$A(1,-\frac{{\sqrt{3}}}{2})$代入橢圓方程$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$,即可求得a和b的值,寫出橢圓C的方程;
(2)將直線方程代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,結(jié)合弦長公式即可求得丨AB丨,利用三角形的面積公式,即可求得三角形的面積公式,代入即可求得m的值,即可求得直線l的方程.
解答 解:(1)橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,
∵離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∴$\frac{c^2}{a^2}=\frac{3}{4}$,即$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{3}{4}$,得a2=4b2,①
∵橢圓C經(jīng)過點(diǎn)$A(1,-\frac{{\sqrt{3}}}{2})$,
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$,②
聯(lián)立①②,解得a2=4,b2=1,
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,整理得:5x2+8mx+4m2-4=0.
由△=64m2-4×5×(4m2-4)>0,解得:$-\sqrt{5}<m<\sqrt{5}$,
由韋達(dá)定理可知:${x_1}+{x_2}=-\frac{8m}{5}$,${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{5}$,
∴$|AB|=\sqrt{{1^2}+1}•\sqrt{{{({x_1}+{x_2})}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{{{(-\frac{8m}{5})}^2}-4•\frac{{4{m^2}-4}}{5}}=\frac{{4\sqrt{2}•\sqrt{5-{m^2}}}}{5}$,
原點(diǎn)O到直線l:x-y+m=0的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}$,
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}•\frac{{4\sqrt{2}•\sqrt{5-{m^2}}}}{5}•\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}=1$,
化簡得,4m4-20m2+25=0,∴${m^2}=\frac{5}{2}$,
∴$m=±\frac{{\sqrt{10}}}{2}$,
∴直線l的方程為$y=x±\frac{{\sqrt{10}}}{2}$.
點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,弦長公式及三角形面積公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{3}{2}$ | B. | $-\frac{3}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $-\frac{1}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,-1)∪(0,1) | B. | (-2,-1)∪(1,2) | C. | (-1,0)∪(1,+∞) | D. | (-∞,-2)∪(2,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 50米 | B. | 75米 | C. | 100米 | D. | 125米 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | -$\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{12}$ | D. | -$\frac{1}{12}$ |
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