Question

已知橢圓G：

x2

3

+y²=1，過P（0，2）的直線l交橢圓G于C、D兩點(diǎn)，求

|PC|

|PD|

的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則

|PC|

|PD|

=|

x1

x2

|=|λ|，分類討論，直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+2，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，可得λ+

1

λ

=

10k2-2

3k2+1

=

10

3

-

16

3

•

1

3k2+1

，結(jié)合△=（12k）²-36（3k²+1）＞0，可得k²＞1，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則

|PC|

|PD|

=|

x1

x2

|=|λ|，
直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+2，代入橢圓方程可得（3k²+1）x²+12kx+9=0，
△=（12k）²-36（3k²+1）＞0，可得k²＞1
∴x₁+x₂=-

12k

3k2+1

，x₁x₂=

9

3k2+1

，
∴x₁²+x₂²=

90k2-18

(3k2+1)2

，
∴λ+

1

λ

=

10k2-2

3k2+1

=

10

3

-

16

3

•

1

3k2+1

，
∴2＜λ+

1

λ

＜

10

3

，
∴

1

3

＜λ＜3且λ≠1，
斜率不存在時(shí)，

|PC|

|PD|

=

1

3

，
∴

1

3

≤λ＜3且λ≠1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．