Question

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A（x，y）實(shí)施變換f后，對應(yīng)點(diǎn)為A₁（y，x），給出以下命題：
①圓x²+y²=r²（r≠0）上任意一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是圓x²+y²=r²（r≠0）；
②若直線y=kx+b上每一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程仍是y=kx+b，則k=-1；
③橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上每一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是離心率不變的橢圓；
④曲線C：y=-x²+2x-1（x＞0）上每一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是曲線C₁，M是曲線C上的任意一點(diǎn)，N是曲線C₁上的任意一點(diǎn)，則|MN|的最小值為

3 2

4

．
以上正確命題的序號是

 

（寫出全部正確命題的序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：本題的關(guān)鍵是理解點(diǎn)A（x，y）實(shí)施變換f后，對應(yīng)點(diǎn)為A₁（y，x）這一變換過程，針對每一個(gè)方程給出變換后的正確方程．

解答： 解：①圓x²+y²=r²（r≠0）上任意一點(diǎn)實(shí)施變換f后
顯然互換x，y后，對應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是圓x²+y²=r²（r≠0）；
∴①正確
②若直線y=kx+b上每一點(diǎn)實(shí)施變換f后
互換x，y后，對應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程：x=ky+b，若應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程仍是y=kx+b
那么k=±1且b=0
③橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上每一點(diǎn)實(shí)施變換f后，
對應(yīng)點(diǎn)的軌跡：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）
那么對應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是離心率不變的橢圓，故③正確
④曲線C：y=-x²+2x-1（x＞0）上每一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是曲線C₁：
x=-y²+2y-1（x＞0）
將y=x向下平移

3

4

個(gè)單位得到直線y=x-

3

4

，那么直線y=x-

3

4

與y=-x²+2x-1（x＞0）相切，
那么y=x與直線y=x-

3

4

的距離是

3 2

8

，利用對稱性可知，則|MN|的最小值為

3 2

4

．
故④正確
故答案為：①③④

點(diǎn)評：本題考查的是學(xué)生的創(chuàng)新能力，是一道高考常見的題型．