【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線與軸平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求函數(shù)的最小值;
(Ⅲ)求證:存在,當(dāng)時, .
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)最小值為.(Ⅲ)詳見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,所以,得.;
(Ⅱ),令,得,列表求得函數(shù)的最小值
(Ⅲ)顯然,且,分析可知, 存在兩個零點,分別為, .且在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增,
所以是極大值, 是極小值,由題可得,進(jìn)而,
因此時, . 因為且在上單調(diào)遞增,
所以一定存在滿足,所以存在,當(dāng)時, .
試題解析:(Ⅰ) ,
由已知可得,所以,得.
(Ⅱ),令,得,
所以, , 的變化情況如表所示:
| 極小值 |
所以的最小值為.
(Ⅲ)證明:顯然,且,
由(Ⅱ)知, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
又, ,
由零點存在性定理,存在唯一實數(shù),滿足,
即, ,
綜上, 存在兩個零點,分別為, .
所以時, ,即, 在上單調(diào)遞增;
時, ,即, 在上單調(diào)遞減;
時, ,即, 在上單調(diào)遞增,
所以是極大值, 是極小值,
,
因為, ,
所以,所以,
因此時, .
因為且在上單調(diào)遞增,
所以一定存在滿足,
所以存在,當(dāng)時, .
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生共有800人參加了數(shù)學(xué)與地理的水平測試,現(xiàn)學(xué)校決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100人進(jìn)行成績抽樣統(tǒng)計,先將800人按001,002,003,…,800進(jìn)行編號.
(Ⅰ)如果從第8行第7列的數(shù)開始向右讀,請你依次寫出最先檢測的3個人的編號:(下面摘取了第7行至第9行)
(Ⅱ)抽的100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測試成績?nèi)缦卤恚?/span>
成績優(yōu)秀、良好、及格三個等級,橫向、縱向分別表示地理成績與數(shù)學(xué)成績,例如:表中數(shù)學(xué)成績?yōu)榱己玫墓灿?0+18+4=42人,若在該樣本中,數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率為30%,求的值.
(Ⅲ)將, 的表示成有序數(shù)對,求“地理成績?yōu)榧案竦膶W(xué)生中,數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少”的數(shù)對的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程;
(2)是否存在實數(shù),使得對任意的,都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方?若存在,求出最大的整數(shù)的值;若不存在,請說明理由;
(參考數(shù)據(jù): )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}滿足,則{an}的前60項和為( )
A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線上兩點的極坐標(biāo)分別為,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)設(shè)為線段的中點,求直線的平面直角坐標(biāo)方程;
(2)判斷直線與圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校選擇高一年級三個班進(jìn)行為期二年的教學(xué)改革試驗,為此需要為這三個班各購買某種設(shè)備1臺.經(jīng)市場調(diào)研,該種設(shè)備有甲乙兩型產(chǎn)品,甲型價格是3000元/臺,乙型價格是2000元/臺,這兩型產(chǎn)品使用壽命都至少是一年,甲型產(chǎn)品使用壽命低于2年的概率是,乙型產(chǎn)品使用壽命低于2年的概率是.若某班設(shè)備在試驗期內(nèi)使用壽命到期,則需要再購買乙型產(chǎn)品更換.
(1)若該校購買甲型2臺,乙型1臺,求試驗期內(nèi)購買該種設(shè)備總費用恰好是10000元的概率;
(2)該校有購買該種設(shè)備的兩種方案, 方案:購買甲型3臺; 方案:購買甲型2臺乙型1臺.若根據(jù)2年試驗期內(nèi)購買該設(shè)備總費用的期望值決定選擇哪種方案,你認(rèn)為該校應(yīng)該選擇哪種方案?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的以往各年的宣傳費用支出(萬元)與銷售量(萬件)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
4 | 3 | 6 | 7 | 8 |
(1)試求回歸直線方程;
(2)設(shè)該產(chǎn)品的單件售價與單件生產(chǎn)成本的差為(元),若與銷售量(萬件)的函數(shù)關(guān)系是,試估計宣傳費用支出為多少萬元時,銷售該產(chǎn)品的利潤最大?(注:銷售利潤=銷售額-生產(chǎn)成本-宣傳費用)
(參考數(shù)據(jù)與公式: , , )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,是定義在R上的奇函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一企業(yè)從某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品,測量這些產(chǎn)品的某項技術(shù)指標(biāo)值x,得到如下的頻率分布表:
x | [11,13) | [13,15) | [15,17) | [17,19) | [19,21) | [21,23) |
頻數(shù) | 2 | 12 | 34 | 38 | 10 | 4 |
(Ⅰ)作出樣本的頻率分布直方圖,并估計該技術(shù)指標(biāo)值x的平均數(shù)和眾數(shù);
(Ⅱ)若x<13或x≥21,則該產(chǎn)品不合格.現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有一件的概率.
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