Question

3．水是地球上寶貴的資源，由于價(jià)格比較便宜在很多不缺水的城市居民經(jīng)常無(wú)節(jié)制的使用水資源造成嚴(yán)重的資源浪費(fèi)．某市政府為了提倡低碳環(huán)保的生活理念鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）若全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為3.6萬(wàn)，試估計(jì)全市有多少居民？并說(shuō)明理由；
（2）若該市政府?dāng)M采取分層抽樣的方法在用水量噸數(shù)為[1，1.5）和[1.5，2）之間選取7戶居民作為議價(jià)水費(fèi)價(jià)格聽(tīng)證會(huì)的代表，并決定會(huì)后從這7戶家庭中按抽簽方式選出4戶頒發(fā)“低碳環(huán)保家庭”獎(jiǎng)，設(shè)X為用水量噸數(shù)在[1，1.5）中的獲獎(jiǎng)的家庭數(shù)，Y為用水量噸數(shù)在[1.5，2）中的獲獎(jiǎng)家庭數(shù)，記隨機(jī)變量Z=|X-Y|，求Z的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為0.5×（0.12+0.08+0.04）=12%，解出即可得出．
（2）由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為1，頻率=$\frac{頻率}{組距}×組距$，可得0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，得a．據(jù)題意可知隨機(jī)變量Z的取值為0，2，4．利用相互獨(dú)立、互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為0.5×（0.12+0.08+0.04）=12%，
所以假設(shè)全市的人數(shù)為x（萬(wàn)人），則有0.12x=3.6，解得x=30，
所以估計(jì)全市人數(shù)為30萬(wàn)．
（2）由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為1，
因?yàn)轭l率=$\frac{頻率}{組距}×組距$，
所以0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，得a=0.3，
用水量在[1，1.5]之間的戶數(shù)為100×0.3×0.5=15戶，
而用水量在[1.5，2]噸之間的戶數(shù)為100×0.4×0.5=20戶，
根據(jù)分層抽樣的方法，總共需要抽取7戶居民，
所以用水量在[1，1.5]之間應(yīng)抽取的戶數(shù)為$15×\frac{7}{35}=3$戶，
而用水量在[1.5，2]噸之間的戶數(shù)為$20×\frac{7}{35}=4$戶．
據(jù)題意可知隨機(jī)變量Z的取值為0，2，4.$P（X=0）=P（X=2，Y=2）=\frac{C_3^2C_4^2}{C_7^3}=\frac{18}{35}$，$P（X=2）=P（X=1，Y=3）+P（X=3，Y=1）=\frac{C_3^1C_4^3+C_3^3C_4^1}{C_7^3}=\frac{16}{35}$，$P（Z=4）=P（X=0，Y=4）=\frac{C_3^0C_4^4}{C_7^3}=\frac{1}{35}$，
其分布列為：

Z	0	2	4
P	$\frac{18}{35}$	$\frac{16}{35}$	$\frac{1}{35}$

期望為：E（Z）=0×$\frac{18}{35}$+2×$\frac{16}{35}$+$4×\frac{1}{35}$=$\frac{36}{35}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立、互斥事件的概率計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式、頻率分布直方圖的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．