在直角坐標系內,O為坐標原點,向量
OA
=(1,4)
OB
=(5,10)
OC
=(2,k)

(1)若點A、B、C能構成三角形,且∠B為直角,求實數(shù)k的值;
(2)若點A、B、C能構成以AB為底邊的等腰三角形,求∠ACB的余弦值.
分析:(1)
BC
=(-3,k-10)
,
BA
=(-4,-6)
,利用
BC
BA
=12-6(k-10)=0
,能求出k的值.     
(2)由
CA
=(-1,4-k)
,點A、B、C能構成以AB為底邊的等腰三角形,知9+(k-10)2=1+(4-k)2,由此求出k=
23
3
,能夠推導出∠ACB的余弦值.
解答:解:(1)∵
BC
=(-3,k-10)
,
BA
=(-4,-6)

BC
BA
=12-6(k-10)=0
,
∴k=12.     
(2)
CA
=(-1,4-k)

∵點A、B、C能構成以AB為底邊的等腰三角形,
|
CA
|=|
CB
|
,即9+(k-10)2=1+(4-k)2
k=
23
3
,
CA
=(-1,-
11
3
)
,
CB
=(3,
7
3
)
,
cos∠ACB=
CA
CB
|
CA
|•|
CB
|
=-
104
130
=-
52
65
=-
4
5
點評:本題考查實數(shù)k的求法和求∠ACB的余弦值.是基礎題,解題時要認真審題,仔細解答,注意平面向量垂直的條件的靈活運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【選做題】在A,B,C,D四小題中只能選做2題,每題10分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內作答,解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
21-1.(選修4-2:矩陣與變換)
設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍,縱坐標伸長到3倍的伸壓變換.
(1)求矩陣M的特征值及相應的特征向量;
(2)求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程.
21-2.(選修4-4:參數(shù)方程)
以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸.已知點P的直角坐標為(1,-5),點M的極坐標為(4,
π
2
),若直線l過點P,且傾斜角為 
π
3
,圓C以M為圓心、4為半徑.
(1)求直線l關于t的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程;
(2)試判定直線l和圓C的位置關系.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內.
A.(選修4-1:幾何證明選講)
如圖,圓O的直徑AB=8,C為圓周上一點,BC=4,過C作圓的切線l,過A作直線l的垂線AD,D為垂足,AD與圓O交于點E,求線段AE的長.
B.(選修4-2:矩陣與變換)
已知二階矩陣A有特征值λ1=3及其對應的一個特征向量α1=
1
1
,特征值λ2=-1及其對應的一個特征向量α2=
1
-1
,求矩陣A的逆矩陣A-1
C.(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)
以平面直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系(兩種坐標系中取相同的單位長度),已知點A的直角坐標為(-2,6),點B的極坐標為(4,
π
2
)
,直線l過點A且傾斜角為
π
4
,圓C以點B為圓心,4為半徑,試求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程.
D.(選修4-5:不等式選講)
設a,b,c,d都是正數(shù),且x=
a2+b2
y=
c2+d2
.求證:xy≥
(ac+bd)(ad+bc)

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

在直角坐標系內,O為坐標原點,向量
OA
=(1,4)
OB
=(5,10)
,
OC
=(2,k)

(1)若點A、B、C能構成三角形,且∠B為直角,求實數(shù)k的值;
(2)若點A、B、C能構成以AB為底邊的等腰三角形,求∠ACB的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本小題14分)

在直角坐標系內,O為坐標原點,向量,,

(1)若點A、B、C能構成三角形,且為直角,求實數(shù)的值;

(2)若點A、B、C能構成以AB為底邊的等腰三角形,求的余弦值.

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