【題目】已知奇函數(shù)f(x)= 的定義域為[﹣a﹣2,b]
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用定義給出證明;
(3)若實數(shù)m滿足f(m﹣1)<f(1﹣2m),求m的取值范圍.
【答案】
(1)∵f(x)是奇函數(shù),故f(0)=0,
即a﹣1=0,解得:a=1,故﹣a﹣2=﹣3,
定義域為[﹣a﹣2,b],關(guān)于原點對稱,
故b=3
(2)函數(shù)f(x)在[﹣3,3]遞增,
證明如下:設(shè)x1,x2是[﹣3,3]上的任意2個值,且x1<x2,
則f(x1)﹣f(x2)= ﹣ = ,
∵﹣3≤x1<x2≤3,∴ ﹣ <0,又 +1>0, +1>0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在[﹣3,3]遞增
(3)由(1)得f(x)在[﹣3,3]遞增,
∴f(m﹣1)<f(1﹣2m)等價于:
,解得:﹣1≤m< ,
故不等式的解集是[﹣1, )
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a,b的值即可;(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的定義域得到關(guān)于m的不等式組,解出即可.
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì),掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為評估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能,從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本,測量其直徑后,整理得到下表:
直徑/ | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合計 |
件數(shù) | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
經(jīng)計算,樣本的平均值,標準差,以頻率值作為概率的估計值.
(1)為評判一臺設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進行評判(表示相應(yīng)事件的概率);
①;
②;
③
評判規(guī)則為:若同時滿足上述三個不等式,則設(shè)備等級為甲;僅滿足其中兩個,則等級為乙;若僅滿足其中一個,則等級為丙;若全部不滿足,則等級為丁,試判斷設(shè)備的性能等級.
(2)將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品.
①從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件,計算其中次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望;
②從樣本中隨意抽取2件零件,計算其中次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且的圖象與直線的兩個相鄰公共點之間的距離為.
(1)求函數(shù)的解析式,并求出的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象,設(shè), , 為的三個內(nèi)角,若,且向量, ,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, ,動點滿足.設(shè)動點的軌跡為.
(1)求動點的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)求動點與定點連線的斜率的最小值;
(3)設(shè)直線交軌跡于兩點,是否存在以線段為直徑的圓經(jīng)過?若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某教師有相同的語文參考書3本,相同的數(shù)學(xué)參考書4本,從中取出4本贈送給4位學(xué)生,每位學(xué)生1本,則不同的贈送方法共有( )
A. 15種 B. 20種 C. 48種 D. 60種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=log2 log2 ,x∈(2,8]的值域為( )
A.[0,2]
B.[﹣ ,2]
C.(0,2]
D.(﹣ ,2]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng),時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)對于任意,不等式恒成立,求實數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列4個命題:
①“若a、G、b成等比數(shù)列,則G2=ab”的逆命題;
②“如果x2+x﹣6≥0,則x>2”的否命題;
③在△ABC中,“若A>B”則“sinA>sinB”的逆否命題;
④當(dāng)0≤α≤π時,若8x2﹣(8sinα)x+cos2α≥0對x∈R恒成立,則α的取值范圍是0≤α≤.
其中真命題的序號是________.
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