Question

2．已知冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{\frac{1}{{m}^{2}+m}}$（m∈N⁺）．
（1）試確定該函數(shù)的定義域，并判斷該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性（不需證明）；
（2）若該函數(shù)經(jīng)過點（2，$\sqrt{2}$），試確定m的值，并求出滿足條件f（2-a）＞f（a-1）的實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷冪函數(shù)的指數(shù)，然后求解函數(shù)的定義域，說明單調(diào)性即可．
（2）利用函數(shù)經(jīng)過的點，求出m，即可得到函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即可．

解答 解：（1）m²+m=m（m+1）為偶數(shù)，定義域為[0，+∞），在定義域內(nèi)為增函數(shù)．（6分）
（2）該函數(shù)經(jīng)過點（2，$\sqrt{2}$），
可得：$\sqrt{2}$=${2}^{\frac{1}{{m}^{2}+m}}$，
解得：m=1，f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$，（8分）
因為f（2-a）＞f（a-1）
所以$\left\{\begin{array}{l}2-a≥0\\ a-1≥0\\ 2-a＞a-1\end{array}\right.$，
a的取值范圍是[1，$\frac{3}{2}$）．（12分）

點評 本題考查冪函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．