【題目】如圖,在四棱錐中,為等邊三角形,邊長為2為等腰直角三角形,,,平面平面ABCD.

(1)證明:平面PAD;

(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值;

(3)棱PD上是否存在一點E,使得平面PBC?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1)證明見解析;(2;(3)棱PD上存在一點E,使得平面PBC,且.

【解析】

1)用面面垂直的性質定理證明線面垂直;

2)取的中點,連接,得平面,以軸,軸,過平行于的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,用平面的法向量的夾角求二面角;

(3)假設棱PD上存在一點E,使得平面PBC,設,由與平面的法向量垂直求得,如果求不出,說明不存在.

(1)∵平面平面ABCD,,平面平面ABCD,平面ABCD,∴平面;

(2)取的中點,連接,由于是等邊三角形,所以,由平面平面ABCD,得平面,

軸,軸,過平行于的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,

,,,,

,,設平面的一個法向量為

,取,則,,

平面的一個法向量為

,

∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為;

(3)假設棱PD上存在一點E,使得平面PBC,設,

由(2,

,又平面的一個法向量是,

,解得,∴.

∴棱PD上存在一點E,使得平面PBC,且.

練習冊系列答案
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