20.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S5=25,a7=13,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,Tn=2bn-1.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若cn=$\frac{a_n}{b_n}$,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Qn

分析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由S5=25,a7=13,列出方程組求出a1和d的值;數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,Tn=2bn-1,利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(2)cn=anbn=(2n-1)•2n-1,利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
∵S5=25,a7=13,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{5a}_{1}+\frac{5×4}{2}×d=25}\\{{a}_{1}+6d=13}\end{array}\right.$,
解得a1=1,d=2
∴an=1+2(n-1)=2n-1;
∵數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,
Tn=2bn-1,
∴當(dāng)n=1時(shí),b1=2b1-1,解得b1=1,
當(dāng)n≥2時(shí),bn=Tn-Tn-1=2bn-1-(2bn-1-1)=2bn-2bn-1,
化為bn=2bn-1,
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,首項(xiàng)為1,公比為2,
∴bn=2n-1
(2)cn=anbn=(2n-1)•2n-1;
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Qn=1+3×2+5×22+…+(2n-1)•2n-1,
2Qn=2+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,
∴-Qn=1+2×2+2×22+…+2×2n-1-(2n-1)×2n
=$\frac{2{(2}^{n}-1)}{2-1}$-1-(2n-1)×2n
=(3-2n)×2n-3,
∴Qn=(2n-3)×2n+3.

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an=3Sn-1+4(n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,
(2)令bn=log2$\frac{{a}_{n+2}}{7}$,cn=$\frac{_{n}}{{2}^{n+1}}$,其中n∈N+,記數(shù)列{cn}的前項(xiàng)和為Tn,是否存在k∈N+,使得Tn≥Tk恒成立,若存在這樣的k的值,請求出;若不存在這樣的k的值,請說明理由.

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