Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（4，3），$\overrightarrow$=（-1，2）．
（1）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值；
（2）若（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$即可得出．
（2）（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），可得（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，解得λ．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-4+6=2，$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，$|\overrightarrow|$=$\sqrt{（-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{2}{5\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．
（2）$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$=（4+λ，3-2λ），2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（7，8），
又（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），∴（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=7（4+λ）+8（3-2λ）=0，
解得λ=$\frac{52}{9}$．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算法則、向量夾角公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．