Question

在銳角三解形ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若sinA=8cosBcosC
（I）求tanB+tanC的值；
（II）若a=3，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）在銳角三解形ABC中，由sinA=8cosBcosC 利用兩角和差的正弦公式可得sinBcosC+cosBsinC=8cosBcosC，由此求得tanB+tanC 的值．
（II）若a=3，由正弦定理可得△ABC面積 S=

1

2

•

3sinB

sinA

•

3sinC

sinA

•sinA=

9

16

•tanBtanC，利用基本不等式求得S的最大值．

解答：解：（I）在銳角三解形ABC中，∵sinA=8cosBcosC，
∴sin（B+C）=8cosBcosC，即sinBcosC+cosBsinC=8cosBcosC．
∴tanB+tanC=8．
（II）若a=3，由正弦定理可得

3

sinA

=

b

sinB

 = 

c

sinC

，
∴△ABC面積 S=

1

2

bc•sinA=

1

2

•

3sinB

sinA

•

3sinC

sinA

•sinA=

9

2

•

sinBsinC

sin(B+C)

=

9

2

•

tanB•tanC

tanB+tanC

=

9

16

•tanBtanC≤

9

16

•(

tanB+tanC

2

)2
=

9

16

×16=9，當(dāng)且僅當(dāng)tanB=tanC，即 B=C時(shí)，等號成立．
故△ABC面積 S的最大值為9．

點(diǎn)評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．