Question

5．已知O為△ABC的外心，3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+7$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則∠ACB的值為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+7$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，移項(xiàng)得3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$=-7$\overrightarrow{OC}$，再平方得：（3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$）²=（7$\overrightarrow{OC}$）²，得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$R²，從而∠AOB=$\frac{π}{3}$，最后根據(jù)圓心角等于同弧所對的圓周角的兩倍得∠ACB的大�。�

解答 解：設(shè)外接圓的半徑為R，
∵3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+7$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$=-7$\overrightarrow{OC}$，
∴（3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$）²=（7$\overrightarrow{OC}$）²，
∴34R²+30$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=49R²，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$R²，
∴cos∠AOB=$\frac{1}{2}$，
∠AOB=$\frac{π}{3}$，
根據(jù)圓心角等于同弧所對的圓周角的兩倍得：∠ACB=$\frac{π}{6}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本小題主要考查三角形外心的應(yīng)用、向量在幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．