Question

【題目】已知二次函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）問：是否存在常數(shù)，當(dāng)時(shí)， 的值域?yàn)閰^(qū)間，且的長度為．（說明：對(duì)于區(qū)間，稱為區(qū)間長度）

Answer 1

【答案】（1）（2）存在常數(shù)， ， 滿足題意.

【解析】試題分析：(1) 先由函數(shù)對(duì)稱軸為得函數(shù)在上單調(diào)減，要使函數(shù)在存在零點(diǎn)，則需滿足，解得； (2)當(dāng)時(shí)， 的值域?yàn)?/span>，由，得合題意；當(dāng)時(shí)， 的值域?yàn)?/span>，由，得不合題意；當(dāng)時(shí)， 的值域?yàn)?/span>，用上面的方法得或合題意.

試題解析：⑴ ∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸是

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

∴要函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)須滿足

即

解得，所以.

⑵ 當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 的值域?yàn)椋?，即

∴

∴∴

經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去。

當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 的值域?yàn)椋?，即

∴, ∴

經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去。

當(dāng) 時(shí)， 的值域?yàn)椋?，即

∴

∴∴或

經(jīng)檢驗(yàn)或或滿足題意。

所以存在常數(shù)，當(dāng)時(shí)， 的值域?yàn)閰^(qū)間，且的長度為.