【題目】定義:若存在常數(shù),使得對定義域D內(nèi)的任意兩個不同的實(shí)數(shù),均有:成立,則稱在D上滿足利普希茨(Lipschitz)條件.
(1)試舉出一個滿足利普希茨(Lipschitz)條件的函數(shù)及常數(shù)的值,并加以驗(yàn)證;
(2)若函數(shù)在上滿足利普希茨(Lipschitz)條件,求常數(shù)的最小值;
(3)現(xiàn)有函數(shù),請找出所有的一次函數(shù),使得下列條件同時成立:
①函數(shù)滿足利普希茨(Lipschitz)條件;
②方程的根也是方程的根,且;
③方程在區(qū)間上有且僅有一解.
【答案】(1),見解析;(2)(3)
【解析】
(1)令可以滿足題意,一次函數(shù)和常值函數(shù)都可以滿足;
(2)根據(jù)定義化簡,得出k的最小值;
(3)由于所有一次函數(shù)均滿足(1)故設(shè)是的根,推得,若符合題意,則也符合題意,可以只考慮的情形,分①若,②若,分別驗(yàn)證是否滿足題意,可得k的范圍.
(1)例如令由
知可取滿足題意(任何一次函數(shù)或常值函數(shù)等均可)。
(2)在為增函數(shù)對任意有
(當(dāng)時取到)所以
(3)由于所有一次函數(shù)均滿足(1)故設(shè)是的根,
又
若符合題意,則也符合題意,故以下僅考慮的情形。
設(shè)
①若,則由且
所以,在中另有一根,矛盾。
②若,則由
所以,在中另有一根,矛盾。
以下證明,對任意符合題意。
當(dāng)時,由圖象在連接兩點(diǎn)的線段的上方知
當(dāng)時,
當(dāng)時,
綜上:有且僅有一個解,在滿足題意。
綜上所述:,
故得解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)若實(shí)數(shù)為整數(shù),且對任意的時,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).
(1)若,求此時直線的方程;
(2)若與直線垂直的直線過點(diǎn),且與拋物線相交于點(diǎn)、,設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、,如圖,求證:直線過定點(diǎn);
(3)設(shè)拋物線上的點(diǎn)、在其準(zhǔn)線上的射影分別為、,若△的面積是△的面積的兩倍,如圖,求線段中點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
性別 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
附:的觀測值
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;
(2)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下是否可認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:的焦點(diǎn)為,拋物線上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),以線段為直徑的圓交軸于,兩點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)字不大于第二張卡片的概率是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動,對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下:
甲商場:顧客轉(zhuǎn)動如圖所示的圓盤,當(dāng)指針指向陰影部分(圖中兩個陰影部分均為扇形,且每個扇形的圓心角均為,邊界忽略不計(jì))即為中獎.
乙商場:從裝有2個白球、2個藍(lán)球和2個紅球(這些球除顏色外完全相同)的盒子中一次性摸出2球,若摸到的是2個相同顏色的球,則為中獎.
試問:購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中,,,是實(shí)數(shù)常數(shù),).
(1)若,函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱,求,的值;
(2)若函數(shù)滿足條件(1),且對任意,總有,求的取值范圍;
(3)若,函數(shù)是奇函數(shù),,,且對任意時,不等式恒成立,求負(fù)實(shí)數(shù)的取值范圍.
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