Question

直角三角形兩直角邊邊長分別為3和4，將此三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周，求得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．

Answer 1

分析：由題意，所求旋轉(zhuǎn)體由兩個同底的圓錐拼接而成．利用解三角形知識，算出圓錐的底面半徑，結(jié)合錐體的側(cè)面公式得到旋轉(zhuǎn)體的表面積S=

84π

5

，再由錐體的體積公式，算出體積為V=

48π

5

．

解答：解：根據(jù)題意，所求旋轉(zhuǎn)體由兩個同底的圓錐拼接而成
它的底面半徑等于直角三角形斜邊上的高，高分別等于兩條直角邊在斜邊的射影長
∵兩直角邊邊長分別為3和4，
∴斜邊長為

32+42

=5，
由面積公式可得斜邊上的高為h=

3×4

5

=

12

5

可得所求旋轉(zhuǎn)體的底面半徑r=

12

5

因此，兩個圓錐的側(cè)面積分別為
S_{上側(cè)面}=π×

12

5

×4=

48π

5

；S_{下側(cè)面}=π×

12

5

×3=

36π

5

∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S=

48π

5

+

36π

5

=

84π

5

由錐體的體積公式，可得旋轉(zhuǎn)體的體積為V=

1

3

π×(

12

5

)2×5=

48π

5

點(diǎn)評：本題給出直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，求轉(zhuǎn)成的幾何體的體積和表面積．著重考查了圓錐的側(cè)面積公式、積體公式和解三角形等知識，屬于基礎(chǔ)題．