Question

12．如圖，已知直線l：y=k（x+1）（k＞0）與拋物線C：y²=4x相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線焦點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線上的射影分別是M、N，若|AM|=2|BN|，則k的值是$\frac{2}{3}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直線y=k（x+1）（k＞0）恒過定點(diǎn)P（-1，0），由此推導(dǎo)出|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，由此能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而能求出k的值．

解答 解：設(shè)拋物線C：y²=4x的準(zhǔn)線為l：x=-1
直線y=k（x+1）（k＞0）恒過定點(diǎn)P（-1，0）
如圖過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，則|AM|=2|BN|，
點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，
則|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，
∴|OB|=|BF|，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$），
把B（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）代入直線l：y=k（x+1）（k＞0），
解得k=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$．
故答案為$\frac{2}{3}\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．