Question

9．已知f（x）=|x-3|+|x+1|，g（x）=|x+1|-|x+a|-a．
（1）解不等式f（x）≥6；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的x的范圍，取并集即可；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2x-2，x≥3}\\{4，-1＜x＜3}\\{-2x+2，x≤-1}\end{array}}\right.$，
當(dāng)x≥3時(shí)，2x-2≥6解得x≥4，
當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，4≥6無解，
當(dāng)x≤-1時(shí)，-2x+2≥6解得x≤-2．
∴f（x）≥6的解集為{x|x≤-2或x≥4}．
（2）由已知|x-3|+|x+1|≥|x+1|-|x+a|-a恒成立，
∴|x-3|+|x+a|≥-a恒成立，
又|x-3|+|x+a|≥|x-3-x-a|=|-3-a|=|a+3|，
∴|a+3|≥-a，
解得$a≥-\frac{3}{2}$，
∴$a∈[{-\frac{3}{2}，+∞}）$時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．