Question

平面α⊥平面β，平面α交β于直線l，A，C∈l，P∈β，B∈α，且PA⊥AC，∠ABC=90°，若A在PB，PC上的射影分別為E，F(xiàn)．求證：PC⊥面AEF．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由已知條件推導(dǎo)出BC⊥平面PAB，從而得到AE⊥平面PBC，由此能證明PC⊥面AEF．

解答： 證明：∵平面α⊥平面β，平面α交β于直線l，
A，C∈l，P∈β，B∈α，且PA⊥AC，
∴PA⊥平面α，
又BC?平面α，∴PA⊥BC，
又∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE，
又AE⊥PB，PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，
又PC?平面PBC，∴AE⊥PC，
又AF⊥PC，AE∩AF=A，
∴PC⊥面AEF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．