Question

某公司為其中公司成立十五周年，回饋政府的支持和幫助，決定于市中心新建一三角形綠地廣場，如圖，△ABC為一個(gè)等腰三角形性狀的綠地，腰CA的長為3（百米），底AB的長為4（百米），現(xiàn)決定在綠地內(nèi)筑一條筆直的小路EF（寬度不計(jì)），將該綠地分成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形，設(shè)分成的四邊形和三角形的周長相等、面積分別為S₁和S₂．
（1）若小路一端E為AC的中點(diǎn)，求此時(shí)小路的長度；
（2）求

S1

S2

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題

分析：（1）根據(jù)題意可知F不在BC上，根據(jù)余弦定理求出cosA的值，然后根據(jù)余弦定理求出EF的長即可；
（2）若E、F分別在AC和AB上，設(shè)AE=x，AF=y，然后利用三角形的面積公式求出S₂和S₁=S_三角形ABC-S₂=，再根據(jù)基本不等式求出比值的最值即可，若E、F分別在AC和BC上，設(shè)CE=x，CF=y，同上根據(jù)基本不等式求出比值的最值即可．

解答： 解：（1）因?yàn)椋篈E=CE=

3

2

，AE+4＞CE+3 所以F不在BC上，
AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF，
所以AE=CE，AF=CB+BF，4-BF=BF+3，BF=

1

2

cosA=

AC2+AB2-BC2

2AC×AB

=

2

3

，所以EF²=AE²+AF²-2AE×AF×cosA=

15

2

，
所以EF=

30

2

．
∴E為AC中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)小路的長度為

30

2

．
（2）若E、F分別在AC和AB上，sinA=

5

3

，
設(shè)AE=x，AF=y，
所以S₂=

1

2

xysinA=

5 xy

6

，
S₁=S_三角形ABC-S₂=2

5

-S₂，
因?yàn)閤+y=3-x+4-y+3，
所以x+y=5，

S1

S2

=

2 5 -S2

5 xy 6

≥

48

25

-1，xy≤(

x+y

2

)2=

25

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

5

2

時(shí)取等號(hào)，
所以

S1

S2

=

23

25

，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

5

2

時(shí)取等號(hào)，最小值是

23

25

．
若E、F分別在AC和BC上，

c

sinC

=

a

sinA

，sinC=

4 5

9

設(shè)CE=x，CF=y
同上可得

S1

S2

≥

11

25

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

5

2

取等號(hào)
若E、F分別在AC和BC上，最小值是

11

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，以及利用基本不等式求最值問題，同時(shí)考查了分類討論的思想，屬于中檔題．