Question

7．已知正六棱錐S-ABCDEF的底面邊長(zhǎng)為2，高為1，現(xiàn)從該棱錐的7個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量X表示所得的三角形的面積．
（1）求概率P（X=$\sqrt{3}$）的值；
（2）求X的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）從7個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，共有${C}_{7}^{3}$=35種取法，求出X=$\sqrt{3}$的三角形的個(gè)數(shù)，由此能求出P（X=$\sqrt{3}$）．
（2）由題意，X的可能取值為$\sqrt{3}$，2，$\sqrt{6}$，2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的概率分布列和E（X）．

解答 解：（1）從7個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，
共有${C}_{7}^{3}$=35種取法，其中X=$\sqrt{3}$的三角形如△ABF，
這類三角形共有6個(gè)，
∴P（X=$\sqrt{3}$）=$\frac{6}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{6}{35}$．
（2）由題意，X的可能取值為$\sqrt{3}$，2，$\sqrt{6}$，2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$，
其中，X=$\sqrt{3}$的三角形如△ABF，這類三角形共有6個(gè)，
其中，X=2的三角形有兩類，如△SAD（3個(gè)），△SAB（6個(gè)），共9個(gè)，
其中X=$\sqrt{6}$的三角形如△SBD，這類三角形共有6個(gè)，
其中X=2$\sqrt{3}$的三角形如△CDF，這類三角形共有12個(gè)，
其中X=3$\sqrt{3}$的三角形如△BDF，這類三角形共有2個(gè)，
∴P（X=$\sqrt{3}$）=$\frac{6}{35}$，P（X=2）=$\frac{9}{35}$，
P（X=$\sqrt{6}$）=$\frac{6}{35}$，P（X=2$\sqrt{3}$）=$\frac{12}{35}$，
P（X=3$\sqrt{3}$）=$\frac{2}{35}$，
隨機(jī)變量X的概率分布列為：

X	$\sqrt{3}$	2	$\sqrt{6}$	2$\sqrt{3}$	3$\sqrt{3}$
P	$\frac{6}{35}$	$\frac{9}{35}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{2}{35}$

E（X）=$\sqrt{3}×\frac{6}{35}+2×\frac{9}{35}+\sqrt{6}×\frac{6}{35}$+$2\sqrt{3}×\frac{12}{35}$+3$\sqrt{3}×\frac{2}{35}$=$\frac{36\sqrt{3}+6\sqrt{6}+18}{35}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．