Question

17．對于函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（a∈R）
（Ⅰ）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？

Answer 1

分析 （Ⅰ）用指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性可作出判斷；
（Ⅱ）先設(shè)f（x）為奇函數(shù)，然后根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得f（-x）=-f（x），由此求得a值．

解答 解：（Ⅰ）∵y=2^x單調(diào)遞增，
∴y=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$單調(diào)遞減，y=-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$單調(diào)遞增，
∴f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$單調(diào)遞增；
（Ⅱ）若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
∴a-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=-（a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$），即2a=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+$\frac{2•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=2，
∴a=1，
故存在實數(shù)a=1使f（x）為奇函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬基礎(chǔ)題．