Question

觀察下列等式：

3

1×2

×

1

2

=1-

1

22

，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

=1-

1

3×22

，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+

5

3×4

×

1

23

=1-

1

4×23

，
…
由以上等式推測到一個(gè)一般的結(jié)論：對于n∈N^*，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=

 

．

Answer 1

分析：由已知中的三個(gè)式子，我們分析等式左邊每一個(gè)累加項(xiàng)的變化趨勢，可以歸納出其通項(xiàng)為

n+2

n(n+1)

×

1

2n

，分析等式右邊的式子，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)式了均為兩項(xiàng)差的形式，且被減數(shù)均為1，減數(shù)為

1

(n+1)-2n

，由此即可得到結(jié)論．

解答：解：由已知中的等式，

3

1×2

×

1

2

=1-

1

22

，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

=1-

1

3×22

，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+

5

3×4

×

1

23

=1-

1

4×23

，
…
我們可以推斷：
對于n∈N^*，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=1-

1

(n+1)-2n

故答案為：1-

1

(n+1)-2n

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．