已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)交于A、B兩點(diǎn).
(1)求證:OA⊥OB;
(2)當(dāng)DAOB的面積等于時(shí),求k的值.
(1)證明見試題解析;(2).
解析試題分析:(1)要證明,可設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則,而,從哪里來呢?考慮到兩點(diǎn)在拋物線上,因此,下面的目標(biāo)是求,我們把直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去,得到關(guān)于的二次方程,正是這個(gè)二次方程的解,利用韋達(dá)定理,可得,從而證得結(jié)論;(2)如果直接利用,則,會發(fā)現(xiàn)很難把這個(gè)根式用表示出來,我們換一種思路,直線交軸于點(diǎn),因此把分成兩個(gè)三角形,從而有,這里,正好能利用(1)結(jié)論中的結(jié)論.
試題解析:(1)由方程組得:,
設(shè),由韋達(dá)定理得:,
∴,
∴,即.4分
(2)設(shè)直線與交于點(diǎn),則,
∴,
∴.10分
考點(diǎn):(1)直線與拋物線相交,垂直問題;(2)面積問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某校同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”,其中、是過拋物線焦點(diǎn)的兩條弦,且其焦點(diǎn),,點(diǎn)為軸上一點(diǎn),記,其中為銳角.
(1)求拋物線方程;
(2)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)距離的倍;曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn),為焦點(diǎn)的拋物線.
(Ⅰ)求,的方程;
(Ⅱ)過作兩條互相垂直的直線,其中與相交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線與橢圓有公共焦點(diǎn),且橢圓過點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)點(diǎn)、是橢圓的上下頂點(diǎn),點(diǎn)為右頂點(diǎn),記過點(diǎn)、、的圓為⊙,過點(diǎn)作⊙ 的切線,求直線的方程;
(3)過橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點(diǎn)、,試問直線是否經(jīng)過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),如果一個(gè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(3,),且以點(diǎn)F(2,0)為它的一個(gè)焦點(diǎn).
(1)求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在(1)中求過點(diǎn)F(2,0)的弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l:與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證: 直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓:的離心率為,以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓:,設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn).(12分)
(1)求橢圓的方程;(3分)
(2)求的最小值,并求此時(shí)圓的方程;(4分)
(3)設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于,的任意一點(diǎn),且直線分別與軸交于點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值.(5分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線的距離為.設(shè)為直線上的點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí),求直線的方程;
(Ⅲ)當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率,且橢圓C上一點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離最大值為4,過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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