Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分別是A₁B₁，BC的中點．
（Ⅰ）證明：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若點P線段BN上，且三棱錐P-AMN的體積，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明：MN∥平面ACC₁A₁，設AC的中點為D，連接DN，A₁D，只需證明A₁D∥MN即可；
（Ⅱ）通過三棱錐P-AMN的體積，利用棱柱的高，求出△APN的面積，再利用面積的比求的值．
解答：解：（I）證明：設AC的中點為D，連接DN，A₁D．
∵D，N分別是AC，BC的中點，
∴（2分）
，
∴，
∴四邊形A₁DNM是平行四邊形
∴A₁D∥MN（4分）
∵A₁D?平面ACC₁A₁，
MN?平面ACC₁A₁∴MN∥平面ACC₁A₁（6分）

（II）∵
又M到底面ABC的距離：AA₁=2
∴（8分）
∵N為BC中點∴（9分）
∵（11分）
此時．（12分）
點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查棱錐的體積，學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．