Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)， 為的中點(diǎn)，且直線的斜率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)另一直線與橢圓交于兩點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意，焦點(diǎn)，所以，再由，得，

進(jìn)而得，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（Ⅱ）由題意，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)或者斜率為0時(shí)，易得；

②設(shè)直線的方程為： ，由題意，原點(diǎn)到直線的距離得到．

設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立方程組，得到，再由弦長公式，利用均值不等式，即可求解最值，進(jìn)而得到面積的最值.

試題解析：

（Ⅰ）由題意，直線與軸交于焦點(diǎn)： ， ，設(shè)， ， ，則： ，

， ，

，又， ，

即橢圓的方程為：

（Ⅱ）由題意，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)或者斜率為0時(shí)，易得；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為： ，由題意，原點(diǎn)到直線的距離為，故，

．設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為： ， ，

則： ， ，

由題意， ．

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立， ；

綜上所述，當(dāng)直線的斜率時(shí)，

即時(shí)， 面積的最大值