Question

8．設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$，g（x）=x-lnx，若對任意的x₂∈[$\frac{1}{e}$，1]，存在${x_1}∈[\frac{1}{e}，1]$，f（x₁）≥g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）∪[$\frac{\sqrt{{e}^{2}-1}}{e}$，$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 對任意的x₂∈[$\frac{1}{e}$，1]，存在${x_1}∈[\frac{1}{e}，1]$，f（x₁）≥g（x₂）成立?f（x₁）_min≥g（x₂）_min，先對函數(shù)g（x）求導(dǎo)判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性并求其最小值，然后對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)判斷單調(diào)性求其最小值，即可．

解答 解：∵g（x）=x-lnx
∴g'（x）=1-$\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{e}$，1]，g'（x）≤0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，g（x）的最小值為g（1）=1，
f'（x）=$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{{x}^{2}}$，令f'（x）=0∵a＞0∴x=a
當(dāng)a≥1時，f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]，上單調(diào)減，f（x）_最小=f（1）=1+a²≥1恒成立，符合題意；
當(dāng)$\frac{1}{e}＜a＜1$時，在[$\frac{1}{e}$，a]上單調(diào)減，在[a，1]，上單調(diào)增，f（x）_最小=f（a）=2a≥1，⇒$\frac{1}{2}≤a＜1$；
當(dāng)a$≤\frac{1}{e}$時，在[$\frac{1}{e}$，1]上單調(diào)增，f（x）_最小=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}+{a}^{2}e≥1$，⇒$\frac{\sqrt{{e}^{2}-1}}{e}≤a≤\frac{1}{e}$
綜上：則實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[$\frac{1}{2}$，+∞）∪[$\frac{\sqrt{{e}^{2}-1}}{e}$，$\frac{1}{e}$]．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，+∞）∪[$\frac{\sqrt{{e}^{2}-1}}{e}$，$\frac{1}{e}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查了關(guān)任意性和存在性問題的轉(zhuǎn)化策略，將任意性與存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域關(guān)系或最值關(guān)系，并得到雙變量的存在性和任意性問題的辨析方法，屬于難題．