Question

已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s（t）=t³+bt²+ct+d，如圖是其運(yùn)動(dòng)軌跡的一部分，若t∈[，4]時(shí)，s（t）＜3d²恒成立，求d的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)s（t）在t=1和t=3處取得極值，可建立兩個(gè)等式，解出b與c的值，根據(jù)單調(diào)性求出s（t）在[，4]上的最大值，使s（t）_max＜3d²，解出不等式即可．
解答：解：s'（t）=3t²+2bt+c．
由圖象可知，s（t）在t=1和t=3處取得極值．
則s'（1）=0，s'（3）=0．
即解得
s'（t）=3t²-12t+9=3（t-1）（t-3）．
當(dāng)t∈[，1）時(shí)，s'（t）＞0．
當(dāng)t∈（1，3）時(shí)，s'（t）＜0．
當(dāng)t∈（3，4）時(shí)，s'（t）＞0．
則當(dāng)t=1時(shí)，s（t）取得極大值為4+d．
又s（4）=4+d，
故t∈[，4]時(shí)，s（t）的最大值為4+d．
已知s（t）＜3d²在，4]上恒成立，
∴s（t）_max＜3d²．即4+d＜3d²．
解得d＞或d＜-1．
∴d的取值范圍是{d|d＞或d＜-1}．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)恒成立問題等有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．