已知平面直角坐標(biāo)系中O是坐標(biāo)原點(diǎn),,圓是的外接圓,過點(diǎn)(2,6)的直線為。
(1)求圓的方程;
(2)若與圓相切,求切線方程;
(3)若被圓所截得的弦長為,求直線的方程。
解:(1)圓C的方程為:
(2) (3)
【解析】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,涉及的知識有:兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系,直線斜率的求法,直線的點(diǎn)斜式方程,兩點(diǎn)間的距離公式,線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式,點(diǎn)到直線的距離公式,垂徑定理,以及勾股定理,利用了分類討論及轉(zhuǎn)化的思想,其中當(dāng)直線與圓相交時(shí),常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn),進(jìn)而利用弦長的一半,圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來解決問題.
(1)三角形外接圓的圓心C為三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn),故找出邊OA與OB的垂直平分線交點(diǎn)即為圓心C,由A和O的坐標(biāo)得出直線OA的斜率,利用兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系求出線段OA垂直平分線的斜率,再利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段OA的中點(diǎn)坐標(biāo),確定出線段OA垂直平分線的方程,找出線段OB垂直平分線的方程,兩直線解析式聯(lián)立求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),即為圓心C的坐標(biāo),再由C與O的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|OC|的長,即為圓C的半徑,由圓心和半徑寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程即可;
(2)顯然切線方程的斜率存在,設(shè)切線方程的斜率為k,由切線過(2,6),表示出切線的方程,由直線與圓相切時(shí),圓心到直線的距離等于圓的半徑,利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,即可確定出切線的方程;
(3)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),顯然x=2滿足題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的斜率為k,由直線l過(2,6),表示出直線l的方程,由弦長及半徑,利用垂徑定理及勾股定理求出弦心距,即為圓心C到直線l的距離,再利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離,列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,確定出直線l的方程,綜上,得到所有滿足題意的直線l的方程
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