選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，極軸與x軸非負(fù)半軸重合，M是曲線C：ρ=4sinθ上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P滿足
OP
=3
OM
，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線Q．
（Ⅰ）求曲線Q的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線Q與直線l：
x=-t
y=t+a
（t為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)且|AB|=4，求實(shí)數(shù)a的值．
分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y）、M（x1，y1），把曲線C：ρ=4sinθ 化為直角坐標(biāo)方程．再由
OP
=3
OM
求得
x1=
x
3
y1=
y
3
，代入曲線C的方程，化簡(jiǎn)可得所求的曲線Q的方程．
（Ⅱ）直線l化為普通方程為 x+y-a=0，求出圓心到直線l的距離d，再利用弦長(zhǎng)公式、根據(jù)|AB|=4，求得a的值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y）、M（x1，y1），曲線C：ρ=4sinθ 即 ρ2=4ρsinθ，
化為直角坐標(biāo)方程為 x2+（y-2）2=4．
由
OP
=3
OM
，可得
x1=
x
3
y1=
y
3
，代入曲線C的方程可得 x2+（y-6）2=36，即為所求的曲線Q的方程．
（Ⅱ）直線l：
x=-t
y=t+a
（t為參數(shù)）化為普通方程為 x+y-a=0，曲線Q的圓心N（0，6），半徑r=6，
圓心到直線l的距離d=
|6-a|
2
∴|AB|=4=2
r2-d2
=2
36-(
6-a
2
)2
，解得a=-2，或a=14．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把參數(shù)方程化為普通方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系xoy 的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox為極軸，且長(zhǎng)度單位相同，建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ-
π
4
）．直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC
交于點(diǎn)D．求證：ED2=EB•EC．
B．選修4-2：矩陣與變換
求矩陣M=
-14
26
的特征值和特征向量．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ，直線l與曲線C交于點(diǎn)．A，B，C，求線段AB的長(zhǎng)．
D．選修4-5：不等式選講
對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•遼寧）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xoy中以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4sinθ，ρcos（θ-
π
4
）=2
2
．
（Ⅰ）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)，已知直線PQ的參數(shù)方程為
x=t3+a
y=
b
2
t3+1
（t∈R為參數(shù)），求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-4：
坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系x0y中，曲線C1為x=acosφ，y=sinφ（1＜a＜6，φ為參數(shù)）．
在以0為原點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線C2的方程為ρ=6cosθ，射線ι為θ=α，ι與C1的交點(diǎn)為A，ι與C2除極點(diǎn)外的一個(gè)交點(diǎn)為B．當(dāng)α=0時(shí)，|AB|=4．
（1）求C1，C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）若過點(diǎn)P（1，0）且斜率為
3
的直線m與曲線C1交于D、E兩點(diǎn)，求|PD|與|PE|差的絕對(duì)值．

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（2011•晉中三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講
在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c1的參數(shù)方程為：
x=2cosθ
y=2sinθ
（θ為參數(shù)），把曲線c1上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮為原來的一半得到曲線c2，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為
2
ρcos(θ-
π
4
)=4．
（1）求曲線c2的普通方程，并指明曲線類型；
（2）過（1，0）點(diǎn)與l垂直的直線l1與曲線c2相交與A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)．

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