Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求整數(shù)的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）的最大整數(shù)值為1.

解析試題分析：（Ⅰ）由題知， 所以．即．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/36/f/kgqtt.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，．
故橢圓的方程為．                    5分
（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在.
設(shè)：，，，，
由得.
，.
，                    8分
∵，∴，，
.
∵點(diǎn)在橢圓上，∴，
∴                          12分
，
∴的最大整數(shù)值為1.                           14分
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，存在性問題研究。
點(diǎn)評(píng)：難題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓、標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。對(duì)于存在性問題，往往先假設(shè)存在，利用已知條件加以探究，以明確計(jì)算的合理性。本題（III）通過假設(shè)t，利用韋達(dá)定理進(jìn)一步確定t與k的關(guān)系式，通過確定函數(shù)的值域，得到t的范圍。