【題目】已知函數(shù).

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)求函數(shù)的零點個數(shù);

3)當(dāng)時,求證不等式解集為空集.

【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為(2)上只有一個零點(3)證明見解析

【解析】

1)求導(dǎo)得到,計算得到答案.

2)求導(dǎo)得到,分類討論,三種情況得到答案.

3)原題等價于恒成立,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,計算最小值得到證明.

1的定義域為.

,得

當(dāng)時,有,所以上單調(diào)遞增.

當(dāng)時,有,所以上單調(diào)遞減.

綜上所述:的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為

2)函數(shù),

,解得

當(dāng)時,上遞減,有.所以.

所以有一個零點.

當(dāng)時,上遞增,所以有一個零點.

當(dāng)時,上遞增,在上遞減,在上遞增.

此時,所以有一個零點.

綜上所述:上只有一個零點.

3)當(dāng)時,不等式解集為空集,等價于在定義域內(nèi)恒成立.

在定義域內(nèi)恒成立.

.

,令,得

列表得

0

+

遞減

最小值

遞增

因為,所以.

,所以

所以恒成立.所以不等式解集為空集

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù),

1)若,試討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)若,試討論的零點的個數(shù);

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如果數(shù)列對于任意,都有,其中為常數(shù),則稱數(shù)列是“間等差數(shù)列”,為“間公差”.若數(shù)列滿足,,.

(1)求證:數(shù)列是“間等差數(shù)列”,并求間公差;

(2)設(shè)為數(shù)列的前n項和,若的最小值為-153,求實數(shù)的取值范圍;

(3)類似地:非零數(shù)列對于任意,都有,其中為常數(shù),則稱數(shù)列是“間等比數(shù)列”,為“間公比”.已知數(shù)列中,滿足,,試問數(shù)列是否為“間等比數(shù)列”,若是,求最大的整數(shù)使得對于任意,都有;若不是,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下圖為函數(shù)的部分圖象,、是它與軸的兩個交點,、分別為它的最高點和最低點,是線段的中點,且為等腰直角三角形.

1)求的解析式;

2)將函數(shù)圖象上的每個點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半,再向左平移個單位長度得到的圖象,求的解析式及單調(diào)增區(qū)間,對稱中心.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某社會機構(gòu)為了調(diào)查對手機游戲的興趣與年齡的關(guān)系,通過問卷調(diào)查,整理數(shù)據(jù)得如下列聯(lián)表:

1)根據(jù)列聯(lián)表,能否有的把握認(rèn)為對手機游戲的興趣程度與年齡有關(guān)?

2)若已經(jīng)從40歲以上的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取了10名,現(xiàn)從這10名被調(diào)查者中隨機選取3名,記這3名被選出的被調(diào)查者中對手機游戲很有興趣的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附:

參考數(shù)據(jù):

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

1)求函數(shù)的最小正周期;

2)當(dāng)時,求函數(shù)的值域以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),為實數(shù).

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(I)求的單調(diào)區(qū)間;

(II)討論上的零點個數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)設(shè),求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;

2)設(shè),求證:存在唯一的,使得函數(shù)的圖象在點處的切線l與函數(shù)的圖象也相切;

3)求證:對任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)x,使得不等式成立.

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