Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．
（1）當k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當 時，求函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M．

Answer 1

【答案】
（1）解：當k=1時，f（x）=（x﹣1）ex﹣x2，

f'（x）=ex+（x﹣1）ex﹣2x=x（ex﹣2）

令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0

所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（﹣∞，0）	0	（0，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0）和（ln2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，ln2）

（2）解：f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2，x∈[0，k]， ．

f'（x）=xex﹣2kx=x（ex﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）

令φ（k）=k﹣ln（2k）， ，

所以φ（k）在 上是減函數(shù)，∴φ（1）≤φ（k）＜φ ，∴1﹣ln2≤φ（k）＜ ＜k．

即0＜ln（2k）＜k

所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，ln（2k））	ln（2k）	（ln（2k），k）
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

f（0）=﹣1，

f（k）﹣f（0）

=（k﹣1）ek﹣k3﹣f（0）

=（k﹣1）ek﹣k3+1

=（k﹣1）ek﹣（k3﹣1）

=（k﹣1）ek﹣（k﹣1）（k2+k+1）

=（k﹣1）[ek﹣（k2+k+1）]

∵ ，∴k﹣1≤0．

對任意的 ，y=ek的圖象恒在y=k2+k+1下方，所以ek﹣（k2+k+1）≤0

所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）

所以函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）ek﹣k3．

【解析】（1）利用導數(shù)的運算法則即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出實數(shù)根，通過列表即可得出其單調(diào)區(qū)間；（2）利用導數(shù)的運算法則求出f′（x），令f′（x）=0得出極值點，列出表格得出單調(diào)區(qū)間，比較區(qū)間端點與極值即可得到最大值．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．