Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₃=7．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n•2 an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)a₁=2，a₃=7求出公差，再代入數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式求出a_n；
（Ⅱ）把a(bǔ)_n代入b_n=a_n•2 an化簡(jiǎn)后，再由錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a₃=7，∴a₁+2d=7，解得d=3，
則a_n=1+（n-1）×3=3n-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a_n=3n-2，
∴b_n=a_n•2 an=（3n-2）•2^3n-2=

3n-2

4

•8n，
∴S_n=

1

4

[1×8¹+4×8²+7×8³+…+（3n-5）•8^n-1+（3n-2）•8ⁿ]
8S_n=

1

4

[1×8²+4×8³+7×8⁴+…+（3n-5）•8ⁿ+（3n-2）•8ⁿ⁺¹]
兩式相減得-7S_n=

1

4

[8+3（8²+8³+8⁴+…+8ⁿ）-（3n-2）•8ⁿ⁺¹]
=

1

4

[8+3×

64(1-8n-1)

1-8

-(3n-2)•8n+1]
=-

34

7

-

42n-34

7

•8n，
則Sn=

34

49

+

42n-34

49

•8n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵，考查了運(yùn)算化簡(jiǎn)能力．