【題目】如圖,在矩形中,分別在上,且,沿 將四邊形折成四邊形,使點在平面上的射影在直線上
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面;
(3)求二面角的正弦值
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)
【解析】
(1)平面,證明故平面,平面,得到證明.
(2),得到平面平面,得到證明.
(3)以為軸,平面內(nèi)與垂直的直線為軸,平面內(nèi)與垂直的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,計算,根據(jù)得到,平面的法向量為,平面的一個法向量為,計算夾角得到答案.
(1)在平面上的射影在直線上,故平面.
平面,故,,,故平面.
平面,故平面平面.
(2),故,平面,故平面.
,平面,故平面,.
故平面平面,平面,故平面.
(3)如圖所示:以為軸,平面內(nèi)與垂直的直線為軸,平面內(nèi)與垂直的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
,,,設(shè),,
,取正解,得到,,故.
,故,
設(shè)平面的法向量為,故,即,
取,得到,故.
易知:平面的一個法向量為,故.
故二面角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點為,焦點.
(1)求拋物線的方程;
(2)過作直線交拋物線于、兩點.若直線、分別交直線:于、兩點,求的最小值.
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【題目】在2019年女排世界杯中,中國女排與巴西女排對壘中采用“五局三勝”制,即哪個隊先勝三場即獲得勝利.根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計,中國女排每局獲勝概率為,巴西女排每局獲勝概率為.
(1)中國女排戰(zhàn)勝巴西女排的概率;
(2)比賽中中國女排第一局獲勝,在該條件下求比賽總局?jǐn)?shù)的分布列及.
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【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽數(shù)之間的關(guān)系,現(xiàn)在從4月份的30天中隨機挑選了5天進行研究,且分別記錄了明天晝夜溫差與每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下表格:
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
溫差x/℃ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y/顆 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為,求事件“君不小于25”的概率;
(2)從這5天中任選2天,若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)這5填中的另三天的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程,.
(參考公式:,).
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【題目】已知正四棱柱的底面邊長,側(cè)棱長,它的外接球的球心為,點 是的中點,點是球上的任意一點,有以下命題:
① 的長的最大值為9;
②三棱錐的體積的最大值是;
③存在過點的平面,截球的截面面積為;
④三棱錐的體積的最大值為20;
⑤過點的平面截球所得的截面面積最大時,垂直于該截面.
其中是真命題的序號是___________
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【題目】電動摩托車的續(xù)航里程,是指電動摩托車在蓄電池滿電量的情況下一次能行駛的最大距離.為了解A,B兩個不同型號電動摩托車的續(xù)航里程,現(xiàn)從某賣場庫存電動摩托車中隨機抽取A,B兩個型號的電動摩托車各5臺,在相同條件下進行測試,統(tǒng)計結(jié)果如下:
電動摩托車編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
A型續(xù)航里程(km) | 120 | 125 | 122 | 124 | 124 |
B型續(xù)航里程(km) | 118 | 123 | 127 | 120 | a |
已知A,B兩個型號被測試電動摩托車?yán)m(xù)航里程的平均值相等.
(1)求a的值;
(2)求A型號被測試電動摩托車?yán)m(xù)航里程標(biāo)準(zhǔn)差的大;
(3)從被測試的電動摩托車中隨機抽取A,B型號電動摩托車各1臺,求至少有1臺的續(xù)航里程超過122km的概率.
(注:n個數(shù)據(jù),的方差,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了個網(wǎng)箱,測量各水箱產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下圖所示.
(1)若用頻率視為概率,記表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于kg”,求事件的概率;
(2)填寫以下列聯(lián)表,并根據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)?
箱產(chǎn)量kg | 箱產(chǎn)量kg | 合計 | |
舊養(yǎng)殖方法 | |||
新養(yǎng)殖方法 | |||
合計 |
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)已知點為拋物線的焦點,點在拋物線上,且.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)已知點,延長交拋物線于點,證明:以點為圓心且與直線相切的圓,必與直線相切.
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【題目】已知10件不同產(chǎn)品中有3件是次品,現(xiàn)對它們一一取出(不放回)進行檢測,直至取出所有次品為止.
(1)若恰在第5次取到第一件次品,第10次才取到最后一件次品,則這樣的不同測試方法數(shù)有多少?
(2)若恰在第6次取到最后一件次品,則這樣的不同測試方法數(shù)是多少?
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