分析 (1)由橢圓的離心率為12,左焦點(diǎn)F1到直線x=−a2c的距離為3,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓M的方程;由{x24+y23=1y=kx+m,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,由此利用根的判別式、點(diǎn)到直線距離公式能求出直線l的方程.
(2)將k=12,m=2代入,得A(-1,32),過切點(diǎn)B的半徑所在的直線l′:y=-2x+2,與直線l的方程聯(lián)立得B(0,2),設(shè)P(x0,y0),由|PB||PA|=2√2,得7x02+7y02+16x0-20y0+22=0,再由P(x0,y0)滿足x02+y02−2x0=4,能求出存在P(-1,1)或P(-913,1913)滿足條件.
解答 解:(1)∵橢圓M:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為12,左焦點(diǎn)F1到直線x=−a2c的距離為3,
∴由題意知{ca=12a2c−c=3,解得a=2,c=1.…(1分)
∴b=√a2−c2=√3,
∴橢圓M的方程為x24+y23=1,…(2分)
圓N的方程為(x-1)2+y2=5,
∵直線l:y=kx+m(k>0)與橢圓M只有一個(gè)公共點(diǎn),
∴由{x24+y23=1y=kx+m,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,①
∴△=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,
整理得m2=3+4k2,②…(5分)
由直線l:y=kx+m與N只有一個(gè)公共點(diǎn),得|k+m|√1+k2=√5,即k2+2km+m2=5+5k2,③
將②代入③得km=1,④由②④得k=12,m=2.
∴直線l:y=12x+2.…(7分)
(2)將k=12,m=2代入①可得A(-1,32),
又過切點(diǎn)B的半徑所在的直線l′:y=-2x+2,
與直線l的方程聯(lián)立得B(0,2),…(8分)
設(shè)P(x0,y0),由|PB||PA|=2√2,得x20+(y0−2)2(x0+1)2+(y0−32)2=8,
化簡(jiǎn)得7x02+7y02+16x0-20y0+22=0,⑤…(10分)
又P(x0,y0)滿足x02+y02−2x0=4,⑥
將⑤-7×⑥并整理得3x0-2y0+5=0,
即y0=3x0+52,⑦
將⑦代入⑥并整理得13x02+22x0+9=0,
解得x0=-1或x0=-913,…(11分)
所以存在P(-1,1)或P(-913,1913)滿足條件.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程、直線方程的求法,考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法,考查橢圓、韋達(dá)定理、直線方程、點(diǎn)到直線距離公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
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A. | 4 | B. | -4√3 | C. | 4√33 | D. | -4√33 |
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A. | (-∞,0) | B. | (0,32e] | C. | [32e,+∞) | D. | (-∞,0)∪[32e,+∞) |
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