Question

已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令  (Ⅱ)求數(shù)列

(Ⅲ)設(shè)的前n項和,是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。

Answer 1

解：（I）由已知得 

又

是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.

（II）由（I）知，

將以上各式相加得：

               

（III）解法一：

存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.

數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)

即

又

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，數(shù)列為等差數(shù)列.

解法二：

存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.

由（I）、（II）知，

又

當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列.

解析:

解：（I）由已知得 

又

是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.

（II）由（I）知，

將以上各式相加得：

               

（III）解法一：

存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.

數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)

即

又

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，數(shù)列為等差數(shù)列.

解法二：

存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.

由（I）、（II）知，

又

當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列.