Question

11．如圖，已知A，B，C是長軸為4的橢圓E上的三點，點A是長軸的
一個端點，BC過橢圓中心O，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=O，|BC|=2|AC|
（1）求橢圓E的方程． 
（2）設圓O是以原點為圓心，短軸長為半徑的園，過橢圓E上異于其頂點的任一點P，作圓O的兩條切線，切點為M，N，若直線MN在x軸，Y軸上的截距分別為m，n，試計算$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$的值是否為定值？如果，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得a，數(shù)形結合求得C的坐標，代入橢圓方程求得b，則橢圓方程可求；
（2）設P（x₀，y₀），由M，N是切點，可知P、M、O、N四點共圓．分別寫出以PO為直徑的圓的方程與圓O的方程，聯(lián)立可得MN所在直線方程求出直線MN在x，y軸上的截距，結合P在橢圓上可得$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$的值是定值．

解答 解：（1）由已知可得，a=2，設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$．
由已知可得：|OB|=|OC|，又$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，|BC|=|2AC|，
∴C（1，1），把C代入橢圓方程可得：$\frac{1}{4}+\frac{1}{^{2}}=1$，得$^{2}=\frac{4}{3}$，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設P（x₀，y₀），由M，N是切點，可知P、M、O、N四點共圓．
∴以PO為直徑的圓的方程為：（x-x₀）x+（y-y₀）y=0，即x²+y²-x₀x-y₀y=0，①
又圓O的方程為：${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{3}$，②
聯(lián)立①②可得MN所在直線方程為：${x}_{0}x+{y}_{0}y=\frac{4}{3}$．
直線MN在x，y軸上的截距分別為：$m=\frac{4}{3{x}_{0}}，n=\frac{4}{3{y}_{0}}$．
∴$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$=$\frac{3{{x}_{0}}^{2}+9{{y}_{0}}^{2}}{16}=\frac{3（{{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}）}{16}$．
又P（x₀，y₀）在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{3{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，即${{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}=4$．
∴$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$=$\frac{3×4}{16}=\frac{3}{4}$．
∴$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$的值是定值．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與圓、圓與橢圓位置關系的應用，是中檔題．