Question

（10分）已知函數(shù)，且 

（1）判斷的奇偶性，并證明；

（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）若，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

(1) 為奇函數(shù)， 證：見(jiàn)解析；

（2）在上的單調(diào)遞增，證明：見(jiàn)解析。（3） .

【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，證明函數(shù)的單調(diào)性按照取值、作差、變形定號(hào)，下結(jié)論的步驟進(jìn)行．

（1）函數(shù)為奇函數(shù)．確定函數(shù)的定義域，利用奇函數(shù)的定義，即可得到結(jié)論；

（2）按照取值、作差、變形定號(hào)，下結(jié)論的步驟進(jìn)行證明，作差后要因式分解．

（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到不等式的解集。

解 ∵ ，且

       ∴ ，解得

(1) 為奇函數(shù)，

 證：∵ ，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121811200787358059/SYS201212181120512641836935_DA.files/image010.png">，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱…

又

所以為奇函數(shù)

（2）在上的單調(diào)遞增

證明：設(shè)，

則

∵

∴  ，

故，即，在上的單調(diào)遞增

又，即，所以可知

又由的對(duì)稱性可知 時(shí)，同樣成立 ∴