Question

10．函數(shù)$f（x）={log_2}\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求出真數(shù)$\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$的最大值為$\sqrt{2}$，進(jìn)而可得函數(shù)$f（x）={log_2}\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$的最大值為$\frac{1}{2}$．

解答 解：$\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$=$\frac{（sinx+co{sx）}^{2}}{sinx+cosx}$=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
故真數(shù)$\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$的最大值為$\sqrt{2}$，
故函數(shù)$f（x）={log_2}\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$的最大值為$lo{g}_{2}\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．