【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的極大值.

（2）當(dāng)時，證明函數(shù)有且只有一個零點.

【答案】(1) 當(dāng)或時, 無極大值；

當(dāng)時的極大值為.

當(dāng)時的極大值為

【解析】

(1)求導(dǎo)得,再討論與1的關(guān)系判定即可.

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及極大值,結(jié)合單調(diào)性即可轉(zhuǎn)證,有解.參變分離可得,再分析的單調(diào)性求出值域即可判定有唯一解即可.

(1) .令可得.

①當(dāng)時,易得,故當(dāng)時,；當(dāng)時,.

故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,此時無極大值.

②當(dāng)時, 當(dāng)時, ；當(dāng)時,與.

故在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增.故函數(shù)的極大值為.

③當(dāng)時, 恒成立. 此時無極大值.

④當(dāng)時, 當(dāng)時, ；當(dāng)時,與.

故在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增.故函數(shù)的極大值為.

綜上所述, 當(dāng)或時, 無極大值；

當(dāng)時的極大值為.

當(dāng)時的極大值為

(2)由(1),當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增.

且極大值為.故當(dāng)時,.故在無零點.

又因為在上單調(diào)遞增,故要證明函數(shù)有且只有一個零點,即證明,有解即可.

參變分離有,令,

則.

因為,故考慮的正負.

又,.

故為增函數(shù).

又,故,即.

故,故為增函數(shù).故.

故.故當(dāng)時恒有解.

即有且僅有一根.得證.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)試估計在這50萬青年學(xué)生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);

(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)

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（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；

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（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；

（2）現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.

（i）試運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；

（ii）若，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，，，

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